On rappelle qu’un sous-espace propre d’une valeur propre λ est noté Eλ et est l’ensemble constitué des vecteurs propres d’une valeur propre ainsi que du vecteur nul. = ) Exemple : A est triangulaire, ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux : 8. det 0 Si dim(E5) = 2 ET dim(E7) = 4, alors la matrice A est diagonalisable, sinon elle ne l’est pas. Si une matrice A a autant de valeurs propres que la dimension de l’espace, alors A est diagonalisable. Espace propre associ e a une valeur propre 13 … La matrice de passage P dont nous avons parlé précédemment sera en fait constituée de vecteurs propres, et même mieux des vecteurs des bases des sous-espaces propres ! T Si tu veux bien me donner une adresse perso où te l'envoyer, je le ferai bien volontiers. Mais il est judicieux de factoriser le polynôme caractéristique à partir de ses racines. Elle consiste à rechercher et expliciter une base de l'espace vectoriel constituée de vecteurs propres, lorsqu'il en existe une. – si pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre est égale à la multiplicité, alors la matrice est diagonalisable Attention, si on a (λ – 7), la racine est 7, si on a (λ + 8), la racine est -8… 2 i T.S.V.P → On trouve ainsi que M est une matrice diagonale qui est déjà égale D !! {\displaystyle E_{-3}=\operatorname {Vect} \left\{{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}\right\}}. Dans ce cas, il y a plusieurs valeurs propres λi, avec chacune une multiplicité m(λi), et un sous-espace propre associé Eλi. T Elle est donc diagonalisable dans une base orthonormée. —. On a vu qu’il y en avait une infinité, mais il y a un point important à remarquer : si M a n valeurs propres distinctes, chaque sous-espace propre associé est de dimension 1 ! Introduction Puissance d’une matrice semblable. Prenons une valeur propre λ. Il y a au moins un vecteur propre associé par définition. —, Pour l’exemple ci-dessus, on pourrait montrer facilement que det(A – λ Id) = (λ – 3)(λ + 1). − Remarquons d'abord que si M est conjuguée à une matrice diagonale D par le biais d'une matrice U ∈GL n, U−1MU = D alors les coe cients diagonaux de D sont des aleursv propres de M et les vecteurs colonnes de U sont des vecteurs propres de M. Réciproquement, si U est une matrice inversible dont les colonnes sont des vecteurs propres de Dans , tous les polynômes sont scindés ! La fonction eigen renvoie une liste composées de 2 éléments : Calcul des valeurs propres : le polynôme caractéristique Cas particulier : une seule valeur propre. Sur la diagonalisation des matrices 2x2 vYes Coudène, 20/10/04 On sait que toute matrice A, à coe cients réels ou complexes, dont les a-v leurs propres sont toutes distinctes, est diagonalisable. Exo. ) Question 2 Soit , montrer que est diagonalisable. +1) ). tels que : 0 2 ∈ 1 = Si en revanche on prend Z, X, Y comme ordre pour P, on aura – 4, 1 et 2 pour D. D'où la question: est il possible de trouver une base particulière de dans laquelle la matrice serait la plus simple possible. Si. Un sous-espace propre est un espace vectoriel, il est souvent noté Eλ s’il est associé à la valeur propre λ. − 3 − {\displaystyle \operatorname {dim} (E_{2})=2\,} Tu trouveras sur cette page tous les exercices sur la diagonalisation de matrices ! Sommaire : Endomorphisme non injectif de R 4. λ ) 3 | ( 3 Est-elle diagonalisable ? Une fois les racines trouvées, on peut alors calculer les dimensions des sous-espaces propres et vérifier que la somme est égale à la dimension de l’espace (ou pas). Est-elle diagonalisable ? 1 On peut interpréter simplement la trace d'une matrice à l'aide de ses valeurs propres. u {\displaystyle u_{i}} ( Cependant, les polynômes ne sont pas tous scindés : s’ils ne sont pas scindés, ils s’écriront comme le produit d’un polynôme scindé et d’un ou plusieurs polynômes de degré 2. Parlons maintenant de ce que l’on appelle les éléments propres. − 1 Un polynômes est dit scindé sur le corps s’il peut s’écrire sous forme d’un produit de polynômes de degré 1 : — Pour un polynôme P scindé, en appelant λi les racines de P : (X ≠ 0) Diagonalisation d'une matrice Applications de la diagonalisation Plan du cours 1 Eléments propres d'un endomorphisme 2 Polynôme caractéristique d'une matrice 3 Diagonalisation d'une matrice Diagonaliser une matrice diagonalisable Conditions de diagonalisabilité Exemples 4 Applications de la diagonalisation Puissance d'une matrice diagonalisable − det(A – λ Id) est scindé à racines simples donc A est diagonalisable. ⇔ Puissance d’une matrice semblable. Faire de mˆeme a l’aide de fonctions du module sympy. premier exemple portant sur la diagonalisation d'une matrice : La matrice, définie ligne par ligne avec la fonction rbind, peut aussi être définie colonne par colonne avec la fonction cbind. Nous verrons aussi à quoi sert la diagonalisation d’une matrice. Mais il arrive que certaines racines soient, doubles, triples, quadruples etc… = En réalité, c’est plus la contraposée qui est intéressante ici : — Une fois la dimension trouvée, il ne reste plus qu’à trouver une base, composée d’autant de vecteurs libres que la dimension. C’est une condition su sante mais pas n ecessaire; en e et, la r eciproque (qui serait \si la matrice est diagonalisable alors elle ) 2 ( En mathématiques, une matrice diagonalisable est une matrice carrée semblable à une matrice diagonale. avec . Cela arrive quand le terme (λ – a) est à une certaine puissance, cette puissance est appelée la multiplicité de la racine, et est noté m(a). Nous verrons aussi à quoi sert la diagonalisation d’une matrice. Calculer le polynôme caractéristique d'une matrice carrée d'ordre n en utilisant un raisonnement par récurrence. —. 0 Ici la variable du polynôme caractéristique étant λ on factorisera le polynôme par (λ – a). Ainsi, après avoir calculé le polynôme caractéristique et trouvé les valeurs propres, il faut factoriser le polynôme afin de connaître la multiplicité de chacune d’elle. Si la multiplicité est 1 : pas de problème, la dimension du sous-espace propre est 1 (donc égale à la multiplicité de la valeur propre) Diagonalisation des matrices sym etriques r eelles. T Soit M2M Pour trouver le sous-espace propre associé à la valeur propre 4, on résout : Après une première partie assez théorique axée sur le vocabulaire, nous verrons concrètement comment diagonaliser une matrice, et les vidéos disponibles en fin de chapitre t’aideront encore plus à comprendre ! 2 3 —. = A noter qu’un vecteur propre est nécessairement NON NUL !!! i Donc kX est un vecteur propre associé à la valeur propre λ ! ∈ On détermine le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 : . Exercice 2 Soit . 2 Valeurs propres d’un endomorphisme 12 5.2. Afin de ne pas confondre, vecteur propre est noté VP (avec un V majuscule) car les vecteurs colonnes sont généralement notés avec une lettre majuscule comme X, tandis que valeur propre est noté vP (avec un v minuscule) car les scalaires sont généralement notés en minuscule comme λ. C'est la somme des modules des coordonnées de , … Cette valeur propre sera donc présente 4 fois dans la matrice D. Une étude permettrait de déterminer que les valeurs propres sont 2 et 4, et que le sous-espace propre associé à 2 (E1) est de dimension 1, et que le sous-espace propre associé à 4 (qui est noté E4) est de dimension 2. x Une première conséquence est que si l’on a n valeurs propres distinctes, on aura n vecteurs propres distincts libres qui formeront une base et constitueront la matrice P, et M sera alors diagonalisable ! 3ème cas particulier : Parlons maintenant des sous-espaces propres. L’ensemble des valeurs propres d’une matrice est appelé le spectre de la matrice. Faire de mˆeme a l’aide de fonctions du module sympy. - 5 - Remarques : • la matrice P (ou la nouvelle base de 3) permettant de trigonaliser A n’est pas unique, • dans les deux derniers exemples, si la matrice A admet pour valeur propre triple la valeur α, la matrice T semblable à A sera égale à celle proposée, mais en changeant ses coefficients On a alors la propriété suivante extrêmement importante : — Calculer son polynˆome caract´eristique, calculer A2 et d´eduire de ces calculs et du th´eor`eme de Hamilton-Cayley l’inverse de A. Exercice 10. Vect 2. ⁡ Les valeurs propres d'une matrice hermitienne sont réelles, la matrice est diagonalisable et il existe une matrice de vecteurs propres unitaire, à savoir telle que . d'endomorphismes diagonalisables de E qui commutent deux à deux est simultanément diagonalisable[2]. En mathématiques, la diagonalisation est un procédé d'algèbre linéaire qui permet de simplifier la description de certains endomorphismes d'un espace vectoriel, en particulier de certaines matrices carrées. Pour ne pas t’embrouiller la tête nous ne ferons pas d’abréviation dans la suite du cours dim Diagonalisation des matrices sym etriques r eelles Matrices sym etriques D e nition Une matrice A 2M n(K) est dite sym etrique si tA = A. Lemme Soit f un endomorphisme d’un espace Euclidien E. Si la matrice de f est sym etrique dans une base orthonorm ee de E, alors la matrice de f est sym etrique dans toute base orthonorm ee de E. D e nition C'est le processus de diagonalisation. 3 I 3 X Ces trois étapes forment la méthode générale pour diagonaliser une matrice, mais il existe des cas particuliers plus rapides permettant de savoir si une matrice est diagonalisable ou non et qu’il faut impérativement connaître ! 0 − Nous montrons que toute matrice a coefficients complexes est trigonalisable, c’est-` a-dire` semblable `a une matrice triangulaire sup erieure. − Prenons par exemple une matrice 3 x 3 notée M. 0 En particulier : - Si la matrice M est sym etrique alors elle est diagonalisable. et -7 est racine simple (autrement dit -7 est racine de multiplicité 1 : m(-7) = 1), Il y a alors une définition importante à connaître : les polynômes scindés (nous allons voir maintenant quelques règles sur les polynômes puis nous ferons le lien avec la diagonalisation, donc ne t’étonnes pas si tu as l’impression que l’on s’éloigne un peu des matrices ). Mais quel est le rapport de tout cela avec la diagonalisation ?? = = = Pour diagonaliser A = 5 −3 6 −4 , on fabrique d’abord deux nouvelles matrices A−2Id et A−(−1)Id et on détermine pour chacune d’elles une base du noyau (ces deux valeurs 2,−1 sont les racines de l’équation det(A−λId)=0 ) : diagonaliser A 5 −3 6 −4 det(A−λId)=0 λ = 2 ւ ց−1. Cette transformaiton utilisée en algèbre linéaire afin de pouvoir ensuite réaliser des calculs plus facilement. La diagonalisation est la détermination effective d'une matrice de passage transformant une matrice diagonalisable en une matrice diagonale, ou la déco… E ( —. Exercice 01 : diagonalisation d’une matrice 1. Ainsi une matrice peut être diagonalisable sur mais pas sur , donc attention à l’énoncé de l’exercice ! Ainsi, en trouvant les racines du polynôme caractéristique, on trouve les valeurs propres ! Nousallonsénoncerdesconditions qui déterminent exactement quand une matrice est diagonalisable. = 2 S’il est scindé, on calcule les sous-espaces propres de chaque valeur propre, en terminant par celles dont la multiplicité est 1 (car elles ne posent pas problème) : on obtient des bases de chaque sous-espace. Une valeur propre ne peut pas exister sans vecteur propre et réciproquement. Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre. Aucune reproduction, même partielle, ne peut être faite de ce site et de l'ensemble de son contenu : textes, documents et images sans l'autorisation expresse de l'auteur, Cours et Exercices classes prépa – post-bac, Cercle trigonométrique et formules de trigo. ( — 1 Il est annulé par le polynôme X2 – 1 = (X – 1)(X + 1) qui est scindé, et à racines simples dès que le corps des scalaires est de caractéristique différente de 2. x x − 0 Sinon cela ne marche pas… Attention qu’ici un sous-espace propre ne peut être de dimension 3 car l’autre étant au moins égal à 1, la somme serait au moins de 4, ce qui contredit une propriété vue précédemment (la somme des dimensions des sous-espaces propres est inférieure ou égale à n). —Diagonalisation en dimension trois Exercice 2.1. Corrigé de l’exercice 1 : Si , par par Si . u , avec Saches tout d’abord qu’on ne peut diagonaliser que des matrices carrées, donc toutes les matrices que l’on cherchera à diagonaliser seront carrées (on ne le précisera donc pas à chaque fois). Un polynôme est dit scindé s’il peut se mettre sous la forme d’un produit de polynômes de degré 1. , donc cette matrice est diagonalisable. P(x) = (x – 5)2(x – 7)4(x2 + 2x + 7)(x2 + 3x + 5) Le raisonnement va se baser sur les sous-espaces propres qui, rappelons-le, est constitué de vecteurs propres (et du vecteur nul). Déterminer si les matrices suivantes sont diagonalisables (sur R ou C). . En calculant ce déterminant, on obtient un polynôme dont la variable est λ (voir le cours sur le déterminant pour avoir plus de précisions sur la manière de calculer ce déterminant). ( ( {\displaystyle B=U^{-1}AU={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&{-3}\end{pmatrix}}} Cette matrice admet comme valeurs propres : Ainsi A qui est de taille 3, a 3 valeurs propres distinctes, donc est diagonalisable. λ est une valeur propre de M si et seulement si M – λ Id n’est pas inversible. Récapitulatif des cas particuliers = —. La dernière modification de cette page a été faite le 18 juin 2020 à 02:12. } —, On retrouve ici le fait que le vecteur X doit être non nul…. Si en revanche on trouve qu’un sous-espace propre n’a pas la même dimension que la multiplicité de la racine, alors cela ne sert à rien de continuer car la matrice ne sera pas diagonalisable (enfin tu peux continuer évidemment mais tout dépend de la question de l’énoncé : si tu cherches juste à savoir si la matrice est diagonalisable ou non, cela ne sert à rien de continuer). Outil pour diagonaliser une matrice. Nous presentons deux applications imm´ ediates de la diagonalisation des matrices avec le´ calcul des puissances d’une matrice diagonalisable et la r´esolution des syst emes diff` ´erentiels lineaires d´ efinis par une matrice diagonalisable. A - V – LA DIAGONALISATION D'UNE MATRICE DIAGONALISABLE - -1) Pratique de la diagonalisation - - Rappels : Un polynôme est " scindé " s'il peut se factoriser entièrement en produit de polynômes du premier degré . ( Si tel est le cas, on prend une base de ce sous-espace et les vecteurs de cette base constituent la matrice P. La matrice D n’est donc composée que de λ sur sa diagonale : (retiens bien cette démonstration, elle est facile et peut t’être demandée en exercice…). aux valeurs propres de la matrice Ap. —. Diagonalisation Ladiagonalisationestuneopérationfondamentaledesmatrices. X est associé à 1, Y à 2 et Z à – 4. 2 2 Si l’on a une matrice M, diagonaliser cette matrice revient à chercher une matrice diagonale D ainsi qu’une matrice inversible P telle que : Autrement dit, on cherche une base dans laquelle la matrice M est diagonale.
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